Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения

Из рисунка видно, что все корни, лежащие слева от мнимой оси, имеют отрицательные вещественные части.

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости s.

Если хотя бы один из корней характеристического уравнения находится в правой полуплоскости – система неустойчивая.

Если хотя бы два корня расположены на мнимой оси, т.е. являются чисто мнимыми, система находится на границе устойчивости. В этом случае незначительными изменениями можно сделать систему или устойчивой, или неустойчивой.

Следовательно, для суждения об устойчивости линейной системы нет необходимости в определении точных значений корней ее характеристического уравнения, а достаточно лишь знать, что эти корни располагаются левее мнимой оси.

Процессы в реальных САУ описываются, как правило, нелинейными дифференциальными уравнениями.

А.М. Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости “в малом” нелинейной системы по устойчивости линейной системы, полученной путем линеаризации исходной системы.

Теорема 1.Нелинейная система устойчива в “малом”, если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 2.Нелинейная система неустойчива в “малом”, если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной системы имеет положительную вещественную часть.

В тех случаях, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет нулевые или чисто мнимые корни, а все другие его корни — отрицательную действительную часть, судить об устойчивости исходной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Неучтенные нелинейности могут по-разному влиять на поведение системы. Для оценки устойчивости исходной системы необходимо учитывать отброшенные при линеаризации члены высшего порядка малости.

 

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector