работы по методу сеток решения краевой задачи математической физики

 

Цель работы. Изучить основные понятия конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики для уравнений в частных производных и уметь применять их на практике. Осуществить численное решение задачи на РС в среде MATLAB.

Порядок работы и методические указания.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и способами численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу. Достаточной теоретической базой является методическое пособие [1]. Наиболее полно все основные понятия метода сеток изложены в [2-4]. Примеры физических постановок краевых задач и соответствующих им конечно-разностных схем можно найти в [5]. Общие вопросы теории эффективных итерационных методов решения сеточных уравнений обсуждаются в специальной литературе [6].

2. Классифицировать уравнение для своего варианта, проверить корректность постановки задачи и дать ей физическую интерпретацию.

3. Для уравнений параболического и гиперболического типа разобраться с методикой построения явных и неявных схем.

4. Разобраться с понятиями: аппроксимация схемы и устойчивость схемы. Выбрать шаблон, соответствующий явной и неявной схеме и обеспечивающий порядок аппроксимации не меньший , где  — шаги сетки по оси абсцисс и оси ординат соответственно. Проверить устойчивость полученной схемы.

5. Реализовать алгоритм численного решения задачи по явной и неявной схеме. Для решения по неявной схеме реализовать метод прогонки по слоям. Проверить устойчивость метода прогонки для полученной схемы. Сравнить результаты решения.

6. Исследовать сходимость сеточного решения. Для этого получить 4-5 матриц — решений на вложенных сетках, последовательно уменьшая шаги сетки и оценивая разность полученных решений для двух последовательных разбиений сетки в удобной матричной норме (например, в эвклидовой или спектральной норме. См. helpnorm). Учесть, что матрицы двух последовательных решений имеют разную размерность, поэтому их разность не определена. В этом случае следует выбрать базовую систему узлов на грубой сетке, имеющую размерность, например, 10x10. Далее при каждом измельчении сетки выбирать подматрицу, соответствующую базовой системе узлов. Построить график зависимости норм разности от номера разбиения, указав параметры сетки для каждого разбиения. График должен демонстрировать сходимость сеточного решения.

7. Для решения задачи эллиптического типа использовать метод последовательной верхней релаксации для шаблона «крест». В обязательном порядке решить задачу выбора оптимального значения ускоряющего множителя , используя какой либо подходящий алгоритм одномерной минимизации (минимизация на сетке, метод дихотомии, метод золотого сечения и др.) и оценивая число итераций, необходимое для достижения заданной точности решения  (значение  выбирать самостоятельно). Для оценки сходимости сеточного решения использовать методику, описанную в пункте 6).

8. Для проверки правильности составленной программы на MATLAB, использовать модельную задачу, т.е. задачу, аналитическое решение которой точно известно. Модель

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector