Основы динамического анализа электронных схем

Иными словами, построение численных алгоритмов решения основано на дискретизации задачи путем замены непрерывного временного интервала интегрирования на дискретный. Для этого делят интервал времени моделирования [a,b] на небольшие приращения (вводят дискретный набор точек tк). Точки набора называют  узлами интегрирования или узлами сетки. Каждое приращение hк=tк называют  шагом интегрирования или шагом сетки, а совокупность узлов — сеточной областью или сеткой узлов при одновременной замене производных конечно-разностными алгебраическими выражениями. В результате исходная система ОДУ заменяется системой конечно-разностных уравнений. Под конечно-разностными уравнениями понимаются алгебраические соотношения между компонентами, отнесенные к узлам сетки. При этом приближенное значение  хk+1 вычисляется с учетом значений величин, найденных ранее для предыдущих узлов сетки. Если формула, по которой вычисляется   хк+1 зависит явно только от хk, то метод называется одношаговым. Если хk+1 вычисляется по двум предыдущим значениям хk, xk+1, то метод называется двухшаговым. Следовательно, методы можно классифицировать по признаку числа предыдущих узлов временной сетки, значения переменных в которых используются для вычисления переменных в текущем узле сетки.   Многошаговые методы доставляют определенные трудности, например, на первом шаге интегрирования, когда нет предыдущих узлов. Как выход, на первых шагах интегрирования можно воспользоваться одношаговыми методами.

Поскольку численный метод не позволяет найти точное решение(tk), обозначим вычисленное значение для момента времени t=tk как . Равенство  называют локальной ошибкой при t=tk. Локальная ошибка состоит из двух компонент – методической ошибки и ошибки округления, в предположении, что значение х на предыдущем шаге известно точно. Методическую ошибку называют также алгоритмической, поскольку она зависит от вида численного алгоритма разностной аппроксимации производных. Граница методической ошибки часто обозначается как «О», а сама локальная методическая ошибка как м= О(hp+1) при h  0. Запись указывает, что локальная методическая ошибка стремится к 0 с такой же скоростью, как и hp+1. При этом говорят, что это «метод p-го порядка». Следовательно, методы численного интегрирования можно классифицировать по критерию «порядок метода  p».

Примечание: Почему не пользуются названием «метод p+1-го порядка»? Дело в том, что, применяя «метод p-го порядка» мы при достаточно малом шаге часто получаем глобальную ошибку, пропорциональную hp. О глобальной ошибке см. ниже.

В настоящее время большинство программ не использует постоянный шаг, но понятия локальной ошибки и порядка метода сохраняют свои значения. Эти понятия показывают что:

1) При одинаковом шаге метод более высокого порядка чаще всего обеспечивает более высокую точность по сравнению с методом меньшего порядка.

2)  При построении алгоритмов автоматического выбора шага интегрирования  основой критерия  выбора величины следующего шага может стать утверждение, что повторное вычисление от момента времени  t=tk с новым шагом hк    изменяет ошибку в следующий момент времени t=tk+1   примерно в    раз. Локальная ошибка округления зависит от типа вычислительной машины, т. е. она не может быть уменьшена для данной машины, однако различные методы интегрирования по-разному влияют на ошибку округления. Важно помнить, что общая ошибка округления при

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector