Устойчивость многошаговых методов

Многошаговые методы, в соответствии с формулой (1) могут применяться только с постоянным шагом h, в то время как одношаговый метод допускает переменный шаг.

Достоинства, присущие многошаговым методам, позволили создать программы, преодолевающие отмеченные трудности.  В некоторых из них используются чисто эвристические приемы. Раздел, посвященный этим методам, есть почти в каждом учебнике по численным методам.

Устойчивость многошаговых методов

Многошаговые методы хороши тем, что среди них можно найти методы любого высокого порядка. Вместе с тем, реализовав явный многошаговый метод, можно убедиться в его неустойчивости для решения многих устойчивых задач при произвольном выборе шага интегрирования. К сожалению, подобное поведение наблюдается и у неявных методов. Установлено, что никакой неявный  многошаговый метод не может быть абсолютно устойчив, если его порядок выше второго. Установлено также, что при решении жестких систем уравнений целесообразно применять методы Гира.

К вопросу о сходимостилинейных многошаговых методов

Возвратимся к общему виду линейного многошагового метода. Проанализируем сходимость решений нелинейных алгебраических уравнений, получаемых на каждом шаге численного интегрирования при применении   некоторых итерационных методов.

Итак, требуется решить неявное уравнение  вида (1).

    Т.к.  член под знаком суммы известен, то обозначим его как wn; тогда       выражение (1) примет вид:       

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector