Описанный процесс будем называть основным процессом приведения матрицы к ступенчатой форме.

Описанный процесс будем называть основным процессом приведения матрицы к ступенчатой форме.

Замечания. а) Основной процесс с незначительной модификацией может быть использован также для приведения матрицы к верхней трапециевидной форме. Для этого нужно привлечь элементарные преобразования столбцов: переставить в ступенчатой матрице столбцы так, чтобы й столбец оказался на i-м месте. Итак, произвольная ненулевая матрица элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов может быть приведена к верхней трапециевидной форме.

б) Квадратная матрица с помощью основного процесса приводится к треугольной форме.

в) Если в основном процессе поменять ролями строки и столбцы, то матрица A приведется к нижней ступенчатой (трапециевидной) форме.

г) Во избежание больших чисел в вычислениях без ЭВМ целесообразно в основном процессе использовать элементарные преобразования строк второго типа: сокращать все элементы на общий множитель.

д) Во избежание дробных чисел в вычислениях без ЭВМ удобно в качестве ведущего элемента выбирать элемент, равный 1. Если такого элемента нет, то, как правило, его можно получить, используя элементарные преобразования строк и перестановки столбцов.

е) Идеи основного процесса используются во многих компьютерных алгоритмах вычислительной алгебры. Выбор ведущего элемента здесь представляет собой особую проблему, так как от этого зависит точность вычислений. Ведущий элемент не должен быть «маленьким». Именно этим определяется многообразие алгоритмов, реализующих основной процесс, с различными стратегиями выбора ведущего элемента.

Элементарные преобразования матрицы в матричных исследованиях просты и удобны. Однако словесное описание выполняемых преобразований весьма утомительно. Этого можно избежать, если ввести некоторые матрицы специального вида (матрицы элементарных преобразований).

 

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector