Решение больших систем линейных алгебраических уравнений

. Решение больших систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) прямыми и итерационными методами. Способы хранения разряженных матриц. Матричные уравнения

Первая часть занятия посвящена действиям с матрицами специального вида: диагональными, треугольными, матрицами перестановок, ленточными, класса  и другими. Особое внимание уделяется  способам хранения матриц в зависимости от ее разряженности и алгоритма решения задачи.

Квадратная матрица  порядка n называется верхней ступенчатой, если она обладает следующими свойствами:

а) если i-я строка нулевая, то (i+1)-я строка также нулевая;

б) если первые ненулевые элементы i-й и (i+1)-й строк расположены в столбцах с номерами  и  то

Эти свойства означают, что все нулевые строки являются последними и что все элементы, расположенные слева и под первым ненулевым элементом каждой строки, равны нулю. Происхождение названия становится понятным из вида ступенчатой матрицы.

Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней ступенчатой матрицы. Ступенчатая матрица, у которой  называется трапециевидной.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих типов:

1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соответственно столбца), умноженной на любое число.

Теорема 1. Произвольная ненулевая матрица A конечным числом элементарных преобразований первого и третьего типов только строк матрицы может быть приведена к верхней ступенчатой форме.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector