Задача Неймана

Уравнением Лапласа называется уравнение , где  – лапласиан двух или трех переменных. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций некоторыми краевыми условиями.

В качестве наиболее важных краевых задач перечислим следующие.

Задача Дирихле. Найти функцию  двух или трех переменных, удовлетворяющую в некоторой области  уравнению Лапласа и принимающую на границе  области  заданные значения:

.

Для случая двух переменных пример такой задачи уже рассматривался в разделе 2.

Задача Неймана. В этом случае на границе  области  задается производная по направлению внешней нормали

.

Отметим, что решение задачи Неймана может быть найдено только с точностью до произвольной постоянной.

Смешанная задача. На части границы  области  задаются значения искомой функции , а на остальной части границы — производная по направлению внешней нормали.

К решению уравнений Лапласа сводятся различные задачи электростатики, задачи о стационарном распределении температур или концентраций растворенного вещества в некоторой области.

Рассмотрим смешанную задачу для двух переменных в прямоугольной области:

                                                                          

К данной задаче применить метод Фурье нельзя, поскольку граничные условия по обеим координатам неоднородные.

Эта трудность преодолевается путем редукции задачи: будем искать решение (9.1 – 9.3) в виде суммы двух функций

                                                                           ,                                                                           

являющихся решениями следующих задач

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector